数据结构与算法 - 基础

程序 = 数据结构 + 算法

其实很多同学知道数据结构与算法很重要,但是却不明觉厉。 这里我们看一个简单的题:

对自然数从1到100的求和

最简单的设计无非是:

void addNum () {
    int total = 0;
    for (int i = 1; i <= 100; i ++) {
        total += i;
    }
    printf("total is %d \n",total);// 5050
}

没毛病,但是哥根廷的数学家 高斯 在其9岁的时候就发明了一个快速计算等差数列求和的小技巧 (1+100,2+99,3+98…..),总共50 对101,结果5050。其公式可以归纳为:

1+2+3+....+n = n*(n+1)/2

不论n多大,我们只用算一次就可以得出结果,而上面的循环却要循环n次,n很小无所谓,如果几万几十万这个时间消耗不言而喻,由此可见数据结构与算法确实很重要。

数据

数据结构中最基本的5个概念:数据、数据元素、数据项、数据对象,他们整体构成数据结构。

比较抽象,我们用代码来展示如下:

struct Teacher {
    char *name;
    char *sex;
    int age;
};

int main(int argc, const char * argv[]) {
    struct Teacher t1;          // 数据元素
    struct Teacher tArray[10];  // 数据对象( 一组数据元素组成 )
    t1.name = "Mary";           // 数据项
    t1.sex = "female";          // 数据项
    t1.age = 23;                // 数据项
    return 0;
}

数据元素之间不是独立的,存在特定的关系,这些关系即结构,数据结构指的就是数据对象中数据元素之间的关系。

结构

从视角的不同作以区分,我们将数据结构分为两种类型:逻辑结构物理结构

逻辑结构

逻辑结构分为:集合结构线性结构树形结构图形结构

  • 集合结构

    集合结构中的数据元素除了同属一个集合外,彼此之间没有其他关系。

  • 线性结构

    线性结构中的数据元素之间都是一对一的关系,从图中也可以看出他们像一条线一样把各个元素连起来,常用的线性结构有:链表队列数组 等等。

  • 树形结构

    树形结构中的元素是呈现一对多的关系,常见的树有:二叉树B树哈夫曼树 等等。

  • 图形结构

    图形结构之间的元素是多对多的关系,常见的图形结构有: 矩阵 等。

物理结构

物理结构其实就是存储结构,就是存储到计算机中的形式。数据存储的结构才真正反映了数据存在的样式,也反映了数据元素之间的逻辑关系,如何设计数据的存储以及相互之间的关系才是数据结构的关键。

  • 顺序存储

    我们知道计算机中的内存都是连续的,如上图所述,1-6个元素按照顺序存储的方式存到内存里,比如第一个元素的内存地址是 0x000001 假设我们这个顺序表中每个元素占1个位置,那么很容易得到第二个元素的地址是 0x000002,以此类推很容易知道第六个元素的地址是 0x000006

  • 链式存储

    这里我画了一个简单的图,大概描述了一下链式存储在内存中是如何体现的。当我们的元素在内存中是散乱的,也就是他们的地址之间没有一定的规律,这个时候就要靠我们的指针去标记位置了,比如我们把 元素2 的物理地址 0x000019 存储到 元素1 中去,那么每两个元素之间就会有一定的相互绑定的关系,这就是链式存储的基本逻辑。

通过上述我们会发现,顺序存储的结构查找会很容易,因为直接按照顺序对应的索引就能对应找到相应的内存地址,而链式存储则不行,不过链式存储的结构对于数据的增删就特别快了,因为他们之间的关系靠的是指针,而不是内存地址的偏移。

算法

算法是解决特定问题步骤的描述,在计算机中表现为解决特定问题的一系列代码

数据结构脱离算法,或者算法脱离数据结构都是无法进行的,因为算法是基于数据结构进行的,只有数据结构而没有算法那么数据结构存在就没有意义了。

程序 = 数据结构 + 算法

算法的特性

  • 输入输出
  • 有穷性 :当然不能是无限循环了…
  • 确定性 : 每一步都是明确的,不能出现模棱两可选择。
  • 可行性

算法的设计要求

  • 正确性
  • 可读性
  • 健壮性
  • 时间效率高和存储量低 :其实这才是算法的精髓,研究算法无非就是要提高效率和降低存储。

时间空间复杂度

通常我们用程序代码执行的次数作为算法时间复杂度的衡量,通常我们用 大O 法来进行标记。

  • 用常数1取代运行时间中的所有常数
  • 各种复杂度相加,只保留最高阶 n+2n+log(n)+n^2 —–> n^2
  • 如果最高阶存在且不是1,则去掉这个项相乘的常数 O(5logn) -----> O(logn)

常数阶

通常用O(1) 来表示

//1+1+1 = 3
void testSum1(int n){
    int sum = 0;                //执行1次
    sum = (1+n)*n/2;            //执行1次
    printf("testSum2:%d\n",sum);//执行1次
}

不管n是多少,这个地方都只用执行1次,所以n不会影响其时间复杂度,O(1)

线性阶

void add2(int x,int n){
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        x = x+1;
    }
}

可以发现这个for循环会执行n次,所以其时间复杂度为 O(n)

对数阶

int count = 1;
while(count < n){
    count = count * 2;
}

上述算法换个写法就是2^x = n 就可以得到 x = log2n,我们说过常数如果不是1都可以去掉,最终结果就是 O(logn)

平方阶

// x=x+1; 执行n*n次
void add3(int x,int n){
    for (int i = 0; i< n; i++) {
        for (int j = 0; j < n ; j++) {
            x=x+1;
        }
    }
}

外层循环n次,内层循环n次,加在一起就是 n*n = n^2 次,所以其时间复杂度为 O(n^2)

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

其实我们只用关注前面的复杂度就行了,如果你的算法时间复杂度像后面的那几位靠齐,也就没啥好说的了,指数级的增长还是蛮恐怖的。

空间复杂度

算法设计有一个重要原则: 空间 时间 权衡

算法的空间负责度是通过计算算法所需的存储空间实现,算法空间复杂度的计算公式是:s(n) = n(f(n)) 其中n为问题的规模,f(n) 为语句关于n所占存储空间的函数。

我们通过一个简单的例子大概了解一下空间复杂度:

int n = 5;
    int a[10] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};

    //算法实现(1)
    /*
    算法(1),仅仅通过借助一个临时变量temp,与问题规模n大小无关,所以其空间复杂度为O(1);
    */

    int temp;
    for(int i = 0; i < n/2 ; i++){
        temp = a[i];
        a[i] = a[n-i-1];
        a[n-i-1] = temp;
    }

    for(int i = 0;i < 10;i++)
    {
        printf("%d\n",a[i]);

    }


    //算法实现(2)
    /*
     算法(2),借助一个大小为n的辅助数组b,所以其空间复杂度为O(n).
    */

    int b[10] = {0};
    for(int i = 0; i < n;i++){
        b[i] = a[n-i-1];
    }
    for(int i = 0; i < n; i++){
        a[i] = b[i];
    }
    for(int i = 0;i < 10;i++)
    {
        printf("%d\n",a[i]);

    }

需要注意的是:算法的空间复杂度并不是整个算法占用内存的空间,而是该算法在实现的时候所需的辅助空间。

研究算法的最终目的是要提高程序运行的效率,我们还想降低程序运行所占用的内存等等,这两个一个是时间维度,一个是空间唯独。一个好的算法并不是说一定要时间复杂度低,也不一定要空间占用小,这些东西要根据项目实际情况去均衡。希望这篇文章能够将数据结构与算法的基础知识讲清楚。