数据结构与算法 - 树

的结构在日常生活中我们有涉及到:比如我们的 族谱公司的架构图等等,今天我们就具体看看树到底是一个什么样的数据结构,它有哪些分类以及如何去实现树。

树结构

树结构包含一个跟节点以及若干个子节点,以下描述了几种常见的树结构图。

一般树

二叉树

每一个节点都两个子节点,它们分别被叫做 左子树右子树 ,这种树结构被称作 二叉树,结合其名字也知道,就是分叉只分了两个,如图:

满二叉树

顾名思义,满二叉树就是所有的节点除了叶子节点以外,都包含两个子节点,而且所有的叶子节点深度是一样的,从图可以看出应该呈现的是一个对称的结构。

完全二叉树

完全二叉树不同于满二叉树,它的叶子节点可以不对称,但是除此以外的节点必须是满的,换句话说,只有最后一层叶子节点可以不满的情况下同时顺序是连续的,也就是不能出现下面这种情况:

顺序存储

任何一个数据结构我们都可以通过顺序存储的方式去实现,顺序存储的方式说到底就是数组,二叉树比较经典,所以接下来我们看看如何用顺序存储结构去实现一个二叉树。

typedef struct {
    int level; //结点层
    int order; //本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
}Position;

#pragma mark -- 二叉树的基本操作
//6.1 visit
Status visit(CElemType c){
    printf("%d ",c);
    return OK;
}

//6.2 构造空二叉树T,因为T是固定数组,不会改变.
Status InitBiTree(SqBiTree T){

    for (int i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
        //将二叉树初始化值置空
        T[i] = Nil;
    }

    return OK;
}

//6.3 按层序次序输入二叉树中的结点值(字符型或整型),构造顺序存储的二叉树T
Status CreateBiTree(SqBiTree T){
    int i = 0;

    //printf("按层序输入结点的值(整型),0表示空结点, 输入999结束.结点数<=%d\n",MAX_TREE_SIZE);
    /*
     1      -->1
     2     3   -->2
     4  5  6   7 -->3
     8  9 10       -->4

     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nil Nil Nil
     */


    while (i < 10) {
        T[i] = i+1;
        printf("%d ",T[i]);

        //结点不为空,且无双亲结点
        if (i != 0 && T[(i+1)/2-1] == Nil && T[i] != Nil) {
            printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]);
            exit(ERROR);
        }

        i++;

    }

    //将空赋值给T的后面的结点
    while (i < MAX_TREE_SIZE) {
        T[i] = Nil;
        i++;
    }

    return OK;
}

//技巧:
//如果大家想要2个函数的结果一样,但是目的不同;
//在顺序存储结构中, 两个函数完全一样的结果
#define ClearBiTree InitBiTree

/*6.4 判断二叉树是否为空
 初始条件: 二叉树已存在
 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则返回FALSE;
 */

Status BiTreeEmpty(SqBiTree T){
    //根结点为空,则二叉树为空
    if (T[0] == Nil)
        return TRUE;

    return FALSE;
}

/*6.5 获取二叉树的深度
 初始条件: 二叉树已存在
 操作结果: 返回二叉树T深度;
 */

int BiTreeDepth(SqBiTree T){

    int j = -1;
    int i;

    //找到最后一个结点
    //MAX_TREE_SIZE -> 100 -> 10 目的找到最后一个结点10的位置
    for (i = MAX_TREE_SIZE-1 ; i>=0; i--) {
        if (T[i] != Nil)
            break;
    }

    do {
        j++;
    } while ( powl(2, j) <= i); //计算2的次幂

    return j;
}

/*6.6 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置)
 操作结构: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
 */

CElemType Value(SqBiTree T,Position e){

    /*
     Position.level -> 结点层.表示第几层;
     Position.order -> 本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
     */


    //pow(2,e.level-1) 找到层序
    printf("%d\n",(int)pow(2,e.level-1));

    //e.order
    printf("%d\n",e.order);

    //4+2-2;
    return T[(int)pow(2, e.level-1)+e.order-2];

}


/*6.7 获取二叉树跟结点的值
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 当T不空,用e返回T的根, 返回OK; 否则返回ERROR
 */

Status Root(SqBiTree T,CElemType *e){
    if (BiTreeEmpty(T)) {
        return ERROR;
    }

    *e = T[0];
    return OK;
}

/*
 6.8 给处于位置e的结点赋值
 初始条件: 二叉树存在,e是T中某个结点的位置
 操作结果: 给处于位置e的结点赋值Value;
 */

Status Assign(SqBiTree T,Position e,CElemType value){

    //找到当前e在数组中的具体位置索引
    int i = (int)powl(2, e.level-1)+e.order -2;

    //叶子结点的双亲为空
    if (value != Nil &&  T[(i+1)/2-1] == Nil) {
        return ERROR;
    }

    //给双亲赋空值但是有叶子结点
    if (value == Nil && (T[i*2+1] != Nil || T[i*2+2] != Nil)) {
        return  ERROR;
    }

    T[i] = value;
    return OK;
}

/*
 6.9 获取e的双亲;
 初始条件: 二叉树存在,e是T中的某一个结点
 操作结果: 若e是T的非根结点, 则返回它的双亲,否则返回"空"
 */

CElemType Parent(SqBiTree T, CElemType e){

    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }

    for (int i = 1 ; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[(i+1)/2 - 1];
        }
    }

    //没有找到
    return Nil;

}

/*
 6.10 获取某个结点的左孩子;
 初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
 操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
 */

CElemType LeftChild(SqBiTree T,CElemType e){

    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[i*2+1];
        }
    }

    //没有找到
    return Nil;

}

/*
 6.11 获取某个结点的右孩子;
 初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
 操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
 */

CElemType RightChild(SqBiTree T,CElemType e){

    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[i*2+2];
        }
    }

    //没有找到
    return Nil;

}

/*
 6.12 获取结点的左兄弟
 初始条件:  二叉树T存在,e是T中某个结点
 操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回"空"
 */

CElemType LeftSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
    /* 空树 */
    if(T[0]==Nil)
        return Nil;

    for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
    /* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */
        if(T[i]==e&&i%2==0)
            return T[i-1];

    return Nil; /* 没找到e */
}

/* 6.13 获取结点的右兄弟
 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点
 操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回"空"
 */

CElemType RightSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
    /* 空树 */
    if(T[0]==Nil)
        return Nil;

    for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
    /* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */
        if(T[i]==e&&i%2==1)
            return T[i+1];

    return Nil; /* 没找到e */
}

#pragma mark -- 二叉树的遍历

/*
 6.14 层序遍历二叉树
 */

void LevelOrderTraverse(SqBiTree T){

    int i = MAX_TREE_SIZE-1;

    //找到最后一个非空结点的序号
    while (T[i] == Nil) i--;

    //从根结点起,按层序遍历二叉树
    for (int j = 0; j <= i; j++)
        //只遍历非空结点
        if (T[j] != Nil)
            visit(T[j]);

    printf("\n");
}

/*
 6.15 前序遍历二叉树
 */

void PreTraverse(SqBiTree T,int e){

    //打印结点数据
    visit(T[e]);

    //先序遍历左子树
    if (T[2 * e + 1] != Nil) {
        PreTraverse(T, 2*e+1);
    }
    //最后先序遍历右子树
    if (T[2 * e + 2] != Nil) {
        PreTraverse(T, 2*e+2);
    }
}

Status PreOrderTraverse(SqBiTree T){

    //树不为空
    if (!BiTreeEmpty(T)) {
        PreTraverse(T, 0);
    }
    printf("\n");
    return  OK;
}

/*
 6.16 中序遍历
 */

void InTraverse(SqBiTree T, int e){

    /* 左子树不空 */
    if (T[2*e+1] != Nil)
        InTraverse(T, 2*e+1);

    visit(T[e]);

    /* 右子树不空 */
    if (T[2*e+2] != Nil)
        InTraverse(T, 2*e+2);
}

Status InOrderTraverse(SqBiTree T){

    /* 树不空 */
    if (!BiTreeEmpty(T)) {
        InTraverse(T, 0);
    }
    printf("\n");
    return OK;
}

/*
 6.17 后序遍历
 */

void PostTraverse(SqBiTree T,int e)
{   /* 左子树不空 */
    if(T[2*e+1]!=Nil)
        PostTraverse(T,2*e+1);
    /* 右子树不空 */
    if(T[2*e+2]!=Nil)
        PostTraverse(T,2*e+2);

    visit(T[e]);
}
Status PostOrderTraverse(SqBiTree T)
{
    if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */
        PostTraverse(T,0);
    printf("\n");
    return OK;
}

链式存储

上面我们实现了树的顺序存储结构的实现,我们会给每个位置都要设值,不论该节点存在不存在,如果该节点为空,我们响应数组的位置也应该存在,所以顺序存储的实现浪费了很多存储空间,那么我们看一下链式存储是如何实现的。

typedef char CElemType;
CElemType Nil=' '/* 字符型以空格符为空 */
typedef struct BiTNode  /* 结点结构 */
{

    CElemType data;        /* 结点数据 */
    struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */
}BiTNode,*BiTree;

/*7.1 打印数据*/
Status visit(CElemType e)
{
    printf("%c ",e);
    return OK;
}

/* 7.2 构造空二叉树T */
Status InitBiTree(BiTree *T)
{
    *T=NULL;
    return OK;
}

/* 7.3 销毁二叉树
 初始条件: 二叉树T存在。
 操作结果: 销毁二叉树T
 */

void DestroyBiTree(BiTree *T)
{
    if(*T)
    {
        /* 有左孩子 */
        if((*T)->lchild)
            DestroyBiTree(&(*T)->lchild); /* 销毁左孩子子树 */

        /* 有右孩子 */
        if((*T)->rchild)
            DestroyBiTree(&(*T)->rchild); /* 销毁右孩子子树 */

        free(*T); /* 释放根结点 */

        *T=NULL/* 空指针赋0 */
    }
}
#define ClearBiTree DestroyBiTree

/*7.4 创建二叉树
 按前序输入二叉树中的结点值(字符),#表示空树;
 */

void CreateBiTree(BiTree *T){

    CElemType ch;

    //获取字符
    ch = str[indexs++];

    //判断当前字符是否为'#'
    if (ch == '#') {
        *T = NULL;
    }else
    {
        //创建新的结点
        *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        //是否创建成功
        if (!*T) {
            exit(OVERFLOW);
        }

        /* 生成根结点 */
        (*T)->data = ch;
        /* 构造左子树 */
        CreateBiTree(&(*T)->lchild);
        /* 构造右子树 */
        CreateBiTree(&(*T)->rchild);
    }

}


/*
 7.5 二叉树T是否为空;
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE
 */

Status BiTreeEmpty(BiTree T)
{
    if(T)
        return FALSE;
    else
        return TRUE;
}

/*
 7.6 二叉树T的深度
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 返回T的深度
 */

int BiTreeDepth(BiTree T){

    int i,j;
    if(!T)
        return 0;

    //计算左孩子的深度
    if(T->lchild)
        i=BiTreeDepth(T->lchild);
    else
        i=0;

    //计算右孩子的深度
    if(T->rchild)
        j=BiTreeDepth(T->rchild);
    else
        j=0;

    //比较i和j
    return i>j?i+1:j+1;
}

/*
 7.7 二叉树T的根
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 返回T的根
 */

CElemType Root(BiTree T){
    if (BiTreeEmpty(T))
        return Nil;

    return T->data;
}

/*
 7.8 返回p所指向的结点值;
 初始条件: 二叉树T存在,p指向T中某个结点
 操作结果: 返回p所指结点的值
 */

CElemType Value(BiTree p){
    return p->data;
}

/*
 7.8 给p所指结点赋值为value;
 初始条件: 二叉树T存在,p指向T中某个结点
 操作结果: 给p所指结点赋值为value
 */

void Assign(BiTree p,CElemType value)
{
    p->data=value;
}

#pragma mark--二叉树遍历
/*
 7.8  前序递归遍历T
 初始条件:二叉树T存在;
 操作结果: 前序递归遍历T
 */


void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
        return;
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据,可以更改为其它对结点操作 */
    PreOrderTraverse(T->lchild); /* 再先序遍历左子树 */
    PreOrderTraverse(T->rchild); /* 最后先序遍历右子树 */
}


/*
 7.9  中序递归遍历T
 初始条件:二叉树T存在;
 操作结果: 中序递归遍历T
 */

void InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
        return ;
    InOrderTraverse(T->lchild); /* 中序遍历左子树 */
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据,可以更改为其它对结点操作 */
    InOrderTraverse(T->rchild); /* 最后中序遍历右子树 */
}

/*
 7.10  后序递归遍历T
 初始条件:二叉树T存在;
 操作结果: 中序递归遍历T
 */

void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
        return;
    PostOrderTraverse(T->lchild); /* 先后序遍历左子树  */
    PostOrderTraverse(T->rchild); /* 再后序遍历右子树  */
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据,可以更改为其它对结点操作 */
}

总结

这篇文章大概讲述了树的结构形态以及集中特殊的树和二叉树的两种实现方式:顺序存储、链式存储。